El Método de Newton - Raphson es un método numérico iterativo que permite resolver ecuaciones no lineales y su nivel de convergencia es bastante más rápido que otros métodos numéricos. Fue formulado por el físico Isaac Newton a finales del siglo XVII y publicado a inicios del siglo XVIII. Mientras que el matemático Joseph Raphson presentó su forma iterativa. Parte desde una "semilla" x0, donde se evalúa la función a buscar y su derivada.
Consta de la siguiente fórmula:
xn+1 = xn - (f(xn) / f'(xn))
Donde:
x = Número a buscar
f(xn) = función de x en la iteración n.
f'(xn) = derivada de la función de x en la iteración n.
n = Iteración.
Ejemplo práctico 1
Encontrar la raíz cuadrada de 2. Para ello hay que transformar dicha expresión "sqr(2)" en una función polinómica de valor cero. Entonces:
x = sqr(2) / ( )^2
x^2 = 2
x^2 - 2 = 0
f(x) = x^2 - 2
Buscamos su derivada:
f'(x) = 2x
Establecemos la semilla: x0 = 1. No se puede colocar el valor 0 para este ejemplo ya que al obtener su derivada y colocándola en el denominador no se puede dividir por cero.
x1 = 1 - ((1^2 - 2) / 2*1) = 1.5
x2 = 1.5 - ((1.5^2 - 2) / 2*1.5) = 1,41666666666667
x3 = 1,41666666666667 - ((1,41666666666667^2 - 2) / 2*1,41666666666667) = 1,41421568627451
x4 = 1,41421568627451 - ((1,41421568627451^2 - 2) / 2*1,41421568627451) = 1,41421356237469
x5 = 1,41421356237469 - ((1,41421356237469^2 - 2) / 2*1,41421356237469) = 1,4142135623731
x6 = 1,4142135623731 - ((1,4142135623731^2 - 2) / 2*1,4142135623731) = 1,4142135623731
Como se puede observar, en la iteración 6 se debe parar ya que el error entre ambas iteraciones es cada vez menor, muy cercano a cero. Por lo cual indica la convergencia del algoritmo.
Ejemplo práctico 2
Calcular la resolución de la ecuación x^3 - 5x + 1 = 0
f(x) = x^3 - 5x + 1
Buscamos su derivada:
f'(x) = 3x^2 - 5
Establecemos la semilla: x0 = 0.5, ya que la función cambia de signo entre 0 y 1. Similar al caso anterior, donde una semilla hace una división cero, es muy importante saber qué valor semilla se debe tomar, los resultados son los siguientes:
x1 = 0,176470588235294
x2 = 0,201568074338339
x3 = 0,201639675087802
x4 = 0,201639675723405
x5 = 0,201639675723405
En este caso entre las iteraciones 4 y 5 se nota la convergencia en el computador, cuya diferencia es cero. Hay que tener en cuenta que, si bien es cierto las soluciones reales no son enteras, el computador presenta truncamiento y establece 15 dígitos significativos para esta solución. Otro punto importante a mencionar, es que no siempre puede estar disponible la derivada, para ello se debe trabajar con el Método de la Secante, que es una versión menos rápida, pero que calcula la pendiente mediante dos puntos de la función en vez de la derivada de la misma.